Stabilität von Materialmodellen für Gummi

Zusammenfassung

Das oben dargestellte Bauteil aus Gummi wurde mit verschiedenen, für Gummimaterialien entwickelten, Materialmodellen gerechnet. Die Rechnung konvergiert nicht, wenn ein Materialmodell mit negativem Stabilitätsindikator verwendet wird. Die Stabilitätseigenschaften der Materialmodelle für Gummi können mit dem neuen Stabilitätsdiagramm von ADINA 8.5⁽¹⁾.

Materiellmodelle für Gummi

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen die benutzerdefinierten Eingangsdaten für einachsigen und zweiachsigen Zug des hier betrachteten Gummimaterials. In den Abbildungen wird die wahre Spannung über der Dehnung dargestellt. In den Abbildungen ist auch das Verhalten zweier verschiedener Materialmodelle für Gummi dargestellt: das 9-term Mooney-Rivlin Materialmodell und das Sussman-Bathe Materialmodell. Das Verhalten der beiden Materialmodelle passt sehr gut zu den benutzerdefinierten Eingangsdaten.

Die Abbildung 3 zeigt die gleichen Daten, dargestellt für einachsigen Zug und Druck, abgebildet wird die wahre Spannung über der logarithmischen Dehnung.

Abbildung 1 Ingenieurspannung über Dehnung, einachsiger Zug

Abbildung 2 Ingenieurspannung über Dehnung, zweiachsiger Zug

Abbildung 3 Wahre Spannung über Logarithmischer Dehnung. Diese Kurven lassen sich aus den einachsigen und zweiachsigen Spannungskurven ermitteln, wie sie in Abbildung 1 und 2 gezeigt werden.

Berechnung des Gummibauteils

Die oben erwähnten Materialmodelle wurden zur Berechnung des abgebildeten Bauteils verwendet. Wie in Abbildung 4 dargestellt, wird auf das Bauteil eine gleichmäßige Zwangsverschiebung aufgebracht.

Abbildung 4 Bauteil im Ausgangszustand (Original) und im Endzustand (Deformed).

Die Abbildung 5 zeigt die Kraft-Weg Kurven, die man bei Verwendung der Materialmodelle erhält. Bei Verwendung des 9-term Mooney-Rivlin Materialmodells wird für Verschiebungen größer 1,4 keine Lösung mehr gefunden. Wenn man hingegen das Sussman-Bathe Materialmodell verwendet, erhält man auch für deutlich größere Verschiebungen noch eine Lösung.

Abbildung 5 Kraft-Weg Kurven

Stabilitäts-Diagramm

Das neue Stabilitätsdiagramm erlaubt einen Einblick in das Konvergenzverhalten des Bauteils. Die Stabilitätskurven für die hier betrachteten Materialmodelle sind in den Abbildungen 6 und 7 dargestellt.

Abbildung 6 Stabilitätskurven aus Materialdaten, Sussman-Bathe Materialmodell
(„Material 1“ bezieht sich die auf Tatsache, dass nur ein Material benutzt wurde)

Abbildung 7 Stabilitätskurven aus Materialdaten, Mooney-Rivlin Materialmodell

Die Überlegungen hinter dem Stabilitäts-Diagramm sind wie folgt: Wir betrachten eine gleichmäßige Gummiplatte unter einachsiger Zugbeanspruchung. Die inkrementelle Steifigkeitsmatrix wird für jeden neuen Dehnungszustand bestimmt (entsprechend der Schwankungen der Kraft infolge der Schwankungen der Verschiebung). Die Eigenwerte der Matrix werden berechnet und der kleinste Eigenwert wird als Stabilitätsindikator verwendet. Ist der Stabilitätsindikator größer als Null, ist das Materialverhalten stabil (in Bezug auf Schwankungen in der Belastung), andernfalls ist das Materialverhalten instabil. Dieselbe Methode kommt zum Einsatz für reine Schubbeanspruchung und zweiachsige Zugbeanspruchung.

Die Stabilitätsdiagramme zeigen, daß sich das Sussman-Bathe Materialmodell für alle drei Beanspruchungsarten stabil verhält, wogegen das 9-term-Mooney-Rivlin Materialmodell unter zweiachsigem Zug für Dehnungen > 0.4 instabil wird.
Da das Gummibauteil mit zweiachsigem Zug beansprucht wird, versagt das Mooney-Rivlin Materialmodell erwartungsgemäß bereits bei niedrigen Kräften / Verformungen (für Gummi).

Zusätzliche Anmerkungen
Eine wünschenswerte Eigenschaft für ein Materialmodell wäre, dass wenn die zugrunde liegenden Messdaten ein stabiles Materialverhalten zeigen, dass auch das Materialmodell zu einem stabil Verhalten führt. Im hier vorliegenden Fall hat das 9-term Mooney-Rivlin Materialmodell diese Eigenschaft nicht.

Natürlich könnte man die verschiedenen Materialparameter so wählen, dass positive Stabilitätsindikatoren berechnet werden, allerdings würde das Materialmodell dann nicht mehr zu den Eingangsdaten passen.

Referenz:
T. Sussman & K.J. Bathe, "A model of incompressible isotropic hyperelastic material behavior using spline interpolations of tension-compression test data", Commun. Num. Meth. Engng (2008), in press

⁽¹⁾ ADINA Version 8.5.2. und höher